Решите системы уравнений второй степени: 4. { x^2 + y^2 = 29 xy = 10

Решение системы №4:

У нас есть система:

• \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 29 \\ xy = 10 \end{cases} \]

Шаг 1: Выразим одну переменную через другую

Из второго уравнения выразим $$y$$:

• \[ y = \frac{10}{x} \]

Шаг 2: Подставим во второе уравнение

Подставим полученное выражение для $$y$$ в первое уравнение:

• \[ x^2 + \left( \frac{10}{x} \right)^2 = 29 \]
• \[ x^2 + \frac{100}{x^2} = 29 \]

Шаг 3: Приведем к квадратному уравнению

Умножим обе части уравнения на $$x^2$$ (при условии $$x
eq 0$$):

• \[ x^4 + 100 = 29x^2 \]
• \[ x^4 - 29x^2 + 100 = 0 \]

Сделаем замену переменной $$t = x^2$$ (при условии $$t \ge 0$$):

• \[ t^2 - 29t + 100 = 0 \]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение для $$t$$

Найдем дискриминант:

• \[ D = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 100 = 841 - 400 = 441 \]
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{441} = 21 \]

Найдем корни $$t_1$$ и $$t_2$$:

• \[ t_1 = \frac{29 - 21}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4 \]
• \[ t_2 = \frac{29 + 21}{2 \cdot 1} = \frac{50}{2} = 25 \]

Шаг 5: Найдем $$x$$

Так как $$t = x^2$$, то:

• При $$t_1 = 4$$:
• \[ x^2 = 4 \implies x_1 = 2, \quad x_2 = -2 \]
• При $$t_2 = 25$$:
• \[ x^2 = 25 \implies x_3 = 5, \quad x_4 = -5 \]

Шаг 6: Найдем соответствующие значения $$y$$

Используем уравнение $$y = \frac{10}{x}$$:

• Если $$x_1 = 2$$, то $$y_1 = \frac{10}{2} = 5$$.
• Если $$x_2 = -2$$, то $$y_2 = \frac{10}{-2} = -5$$.
• Если $$x_3 = 5$$, то $$y_3 = \frac{10}{5} = 2$$.
• Если $$x_4 = -5$$, то $$y_4 = \frac{10}{-5} = -2$$.

Шаг 7: Проверка

Подставим найденные пары в исходные уравнения:

• Для (2; 5): $$2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29$$ (верно). $$2 imes 5 = 10$$ (верно).
• Для (-2; -5): $$(-2)^2 + (-5)^2 = 4 + 25 = 29$$ (верно). $$(-2) imes (-5) = 10$$ (верно).
• Для (5; 2): $$5^2 + 2^2 = 25 + 4 = 29$$ (верно). $$5 imes 2 = 10$$ (верно).
• Для (-5; -2): $$(-5)^2 + (-2)^2 = 25 + 4 = 29$$ (верно). $$(-5) imes (-2) = 10$$ (верно).

Ответ: (2; 5), (-2; -5), (5; 2), (-5; -2)