Решите системы уравнений второй степени: 6. { x^2 = 2y + 3 x^2 + 6 = 2y + y^2

Решение системы №6:

У нас есть система:

• \[ \begin{cases} x^2 = 2y + 3 \\ x^2 + 6 = 2y + y^2 \end{cases} \]

Шаг 1: Подставим первое уравнение во второе

Заметим, что в обоих уравнениях есть $$x^2$$. Мы можем заменить $$x^2$$ в первом уравнении на $$2y+3$$ во втором уравнении:

• \[ (2y + 3) + 6 = 2y + y^2 \]

Шаг 2: Приведем к квадратному уравнению

Упростим уравнение:

• \[ 2y + 9 = 2y + y^2 \]

Вычтем $$2y$$ из обеих частей:

• \[ 9 = y^2 \]

Шаг 3: Найдем $$y$$

Из $$y^2 = 9$$ следует, что:

• \[ y_1 = 3, \quad y_2 = -3 \]

Шаг 4: Найдем соответствующие значения $$x$$

Используем первое уравнение $$x^2 = 2y + 3$$:

• Для $$y_1 = 3$$:
• \[ x^2 = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9 \]
• \[ x^2 = 9 \implies x_1 = 3, \quad x_2 = -3 \]
• Для $$y_2 = -3$$:
• \[ x^2 = 2(-3) + 3 = -6 + 3 = -3 \]

Так как $$x^2$$ не может быть отрицательным числом в действительных числах, то при $$y = -3$$ действительных решений для $$x$$ нет.

Шаг 5: Проверка

Проверим найденные пары $$(3; 3)$$ и $$(-3; 3)$$:

• Для $$(3; 3)$$: $$x^2 = 3^2 = 9$$. $$2y + 3 = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9$$. Первое уравнение верно.
• $$x^2 + 6 = 9 + 6 = 15$$. $$2y + y^2 = 2(3) + 3^2 = 6 + 9 = 15$$. Второе уравнение верно.
• Для $$(-3; 3)$$: $$x^2 = (-3)^2 = 9$$. $$2y + 3 = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9$$. Первое уравнение верно.
• $$x^2 + 6 = 9 + 6 = 15$$. $$2y + y^2 = 2(3) + 3^2 = 6 + 9 = 15$$. Второе уравнение верно.

Ответ: (3; 3), (-3; 3)