Решите треугольник: а) a = 8; b = 5; ∠A = 65°; б) a = 6; b = 8; c = 12.

а) Дано две стороны и угол, противоположный одной из них. По теореме синусов:

\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\), поэтому \(\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{5\sin65^\circ}{8}\approx0.56695\).

Получаем \(B\approx34.53^\circ\). Второй вариант для угла B невозможен, поскольку он вместе с A превысил бы 180°.

\(C=180^\circ-A-B\approx180^\circ-65^\circ-34.53^\circ=80.47^\circ\).

По теореме синусов: \(c=\frac{a\sin C}{\sin A}\approx\frac{8\sin80.47^\circ}{\sin65^\circ}\approx8.73\).

а) Ответ: B ≈ 34,53°, C ≈ 80,47°, c ≈ 8,73.

б) По теореме косинусов для угла A:

\(\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{8^2+12^2-6^2}{2\cdot8\cdot12}=\frac{172}{192}=\frac{43}{48}\), откуда \(A\approx26.38^\circ\).

Для угла B:

\(\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{6^2+12^2-8^2}{2\cdot6\cdot12}=\frac{116}{144}=\frac{29}{36}\), откуда \(B\approx36.34^\circ\).

\(C=180^\circ-A-B\approx117.28^\circ\).

б) Ответ: A ≈ 26,38°, B ≈ 36,34°, C ≈ 117,28°.