Решите треугольник ABC, если BC = 10√3 см, AB = 20 см, ∠B = 30°.

Обозначим AC = b. По теореме косинусов:

\(b^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B\).

\(b^2=20^2+(10\sqrt3)^2-2\cdot20\cdot10\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=400+300-600=100\), поэтому \(AC=10\) см.

Сторона BC лежит против угла A. По теореме синусов \(\sin A=\frac{BC\sin B}{AC}=\frac{10\sqrt3\cdot(1/2)}{10}=\frac{\sqrt3}{2}\). Возможные углы A — 60° и 120°. Поскольку AB = 20 см — наибольшая сторона, противолежащий ей угол C должен быть наибольшим. Значит, A = 60°, а C = 180° − 30° − 60° = 90°.

Ответ: AC = 10 см, ∠A = 60°, ∠C = 90°.