Вариант 51. 2. В параллелограмме биссектриса тупого угла, равного 120°, делит сторону параллелограмма на отрезки 15 см и 10 см, считая от вершины острого угла. Найдите биссектрису и большую диагональ параллелограмма.

Пусть тупой угол расположен при вершине A, а биссектриса пересекает противоположную сторону CD в точке E. Тогда углы при соседних вершинах параллелограмма равны 60°.

Поскольку CD параллельна AB, треугольник ADE равнобедренный: \(\angle DAE=\angle AED=60^\circ\). Поэтому он равносторонний и \(AD=DE=AE\). Отрезок от острой вершины C до E равен 15 см, а ED — 10 см, значит AD = 10 см и CD = 25 см. Следовательно, стороны параллелограмма равны 10 см и 25 см.

Высота, опущенная на сторону длиной 25 см, равна \(10\sin60^\circ=5\sqrt3\) см. Биссектриса составляет с этой высотой угол 30°, поэтому её длина равна \(\frac{5\sqrt3}{\cos30^\circ}=10\) см.

Большая диагональ лежит напротив угла 120°. По теореме косинусов:

\(d^2=10^2+25^2-2\cdot10\cdot25\cos120^\circ=100+625+250=975\), поэтому \(d=5\sqrt{39}\) см.

Ответ: биссектриса равна 10 см, большая диагональ — \(5\sqrt{39}\) см.