Решите уравнение: $$4^x + 2^x - 20 = 0$$

Решим уравнение $$4^x + 2^x - 20 = 0$$.

1. Заметим, что $$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$$.
2. Пусть $$t = 2^x$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 + t - 20 = 0$$.
3. Решим квадратное уравнение $$t^2 + t - 20 = 0$$.
4. Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$$.
5. Найдем корни:

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

6. Вернемся к замене $$t = 2^x$$.
7. Если $$t = 4$$, то $$2^x = 4$$, значит, $$2^x = 2^2$$, откуда $$x = 2$$.
8. Если $$t = -5$$, то $$2^x = -5$$. Это уравнение не имеет решений, так как $$2^x$$ всегда положительно.

Ответ: $$x = 2$$