Решите уравнение \(\frac{7x+3}{x-6} = \frac{x-6}{5x-1}\). Если уравнение имеет более одного корня, то запишите больший из корней.

Решим уравнение \(\frac{7x+3}{x-6} = \frac{x-6}{5x-1}\).

1. Умножим обе части уравнения на \((x-6)(5x-1)\) (где \(x \neq 6\) и \(x \neq \frac{1}{5}\) ) чтобы избавиться от знаменателей:
\((7x+3)(5x-1) = (x-6)(x-6)\)

2. Раскроем скобки:
\(35x^2 - 7x + 15x - 3 = x^2 - 6x - 6x + 36\)
\(35x^2 + 8x - 3 = x^2 - 12x + 36\)

3. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения:
\(35x^2 - x^2 + 8x + 12x - 3 - 36 = 0\)
\(34x^2 + 20x - 39 = 0\)

4. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), где \(a=34\), \(b=20\) и \(c=-39\):
\(D = 20^2 - 4 * 34 * (-39) = 400 + 5304 = 5704\)

5. Найдем корни уравнения по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):
\(x_1 = \frac{-20 + \sqrt{5704}}{2 * 34} = \frac{-20 + \sqrt{5704}}{68} \approx \frac{-20 + 75.52}{68} \approx \frac{55.52}{68} \approx 0.816\)
\(x_2 = \frac{-20 - \sqrt{5704}}{2 * 34} = \frac{-20 - \sqrt{5704}}{68} \approx \frac{-20 - 75.52}{68} \approx \frac{-95.52}{68} \approx -1.405\)

6. Определим больший корень:
Больший корень равен \(\frac{-20 + \sqrt{5704}}{68} \approx 0.816\).

Ответ: \(\frac{-20 + \sqrt{5704}}{68}\) или округлённо 0.816