Решите уравнение: 1/(x-3)^2 - 6/(x-3) - 16 = 0

Решение:

1. Пусть \( y = \frac{1}{x-3} \). Тогда уравнение примет вид:
• \[ y^2 - 6y - 16 = 0 \]
2. Решим квадратное уравнение относительно \( y \) по теореме Виета (или через дискриминант).
• Произведение корней \( y_1 \cdot y_2 = -16 \)
• Сумма корней \( y_1 + y_2 = 6 \)
• Подбираем корни: \( y_1 = 8 \) и \( y_2 = -2 \)
3. Теперь вернемся к исходной переменной \( x \).
• Случай 1: \( \frac{1}{x-3} = 8 \)
• \[ 1 = 8(x-3) \]
• \[ 1 = 8x - 24 \]
• \[ 8x = 25 \]
• \[ x = \frac{25}{8} \]
• Случай 2: \( \frac{1}{x-3} = -2 \)
• \[ 1 = -2(x-3) \]
• \[ 1 = -2x + 6 \]
• \[ 2x = 5 \]
• \[ x = \frac{5}{2} \]

Ответ: \( \frac{25}{8}; \frac{5}{2} \)