Решите уравнение (2.53—2.55): 2.54 а) 2x³ − x² − 2x + 1 = 0; б) 3x³ − x² − 12x + 4 = 0; в) 3x⁴ − 3x³ + 4x² − x + 1 = 0; г) x⁴ − 4x³ + 12x − 9 = 0; д) 2x⁴ + 2x³ + 5x² + x + 2 = 0; е) x⁴ − 3x³ + 6x − 4 = 0.

а) Группируем слагаемые: (2x − 1)(x² − 1) = (2x − 1)(x − 1)(x + 1) = 0. Корни: x = 1/2, 1, −1.

б) (3x − 1)(x² − 4) = (3x − 1)(x − 2)(x + 2) = 0. Корни: x = 1/3, 2, −2.

в) Действительных корней нет. Действительно, многочлен можно записать как 3x⁴ − 3x³ + 4x² − x + 1 = 3x⁴ + 4(x − 3/8)² + 29/48, а это выражение строго положительно при любом действительном x.

г) Разложим многочлен: (x − 1)(x − 3)(x² − 3) = 0. Корни: x = 1, 3, √3, −√3.

д) Действительных корней нет: 2x⁴ + 2x³ + 5x² + x + 2 = (x² + x/2)² + (7/4)x² + x + 2. Последняя квадратичная часть положительна при любом действительном x, поскольку её дискриминант отрицателен.

е) (x − 1)(x − 2)(x² − 2) = 0. Корни: x = 1, 2, √2, −√2.

Ответ: а) −1, 1/2, 1; б) −2, 1/3, 2; в) действительных корней нет; г) −√3, √3, 1, 3; д) действительных корней нет; е) −√2, √2, 1, 2.