Решите уравнение: 5.11. a) x² = 2x + 48; б) 6x² + 7x = 5; в) х² = 4x + 96; г) 2x² - 2 = 3x.

Решение:

5.11. a) \( x^2 = 2x + 48 \)

1. Перенесём все члены уравнения в одну сторону: \( x^2 - 2x - 48 = 0 \).
2. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 \).
3. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.
4. Найдём корни: \[ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] \[ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]

б) \( 6x^2 + 7x = 5 \)

1. Перенесём все члены уравнения в одну сторону: \( 6x^2 + 7x - 5 = 0 \).
2. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 49 + 120 = 169 \).
3. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.
4. Найдём корни: \[ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 + 13}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 - 13}{12} = \frac{-20}{12} = -\frac{5}{3} \]

в) \( x^2 = 4x + 96 \)

1. Перенесём все члены уравнения в одну сторону: \( x^2 - 4x - 96 = 0 \).
2. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400 \).
3. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.
4. Найдём корни: \[ x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12 \] \[ x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]

г) \( 2x^2 - 2 = 3x \)

1. Перенесём все члены уравнения в одну сторону: \( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \).
2. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \).
3. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.
4. Найдём корни: \[ x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]

Ответ: а) \( 8; -6 \); б) \( \frac{1}{2}; -\frac{5}{3} \); в) \( 12; -8 \); г) \( 2; -\frac{1}{2} \).