Решите уравнение \( (8x-3)^2 = (2x-6)^2 \). Запишите решение и ответ.

Решение:

Чтобы решить это уравнение, мы можем раскрыть скобки или использовать свойство разности квадратов.

Способ 1: Раскрытие скобок

Раскроем квадраты в обеих частях уравнения:

\[ (8x-3)^2 = 64x^2 - 48x + 9 \]

\[ (2x-6)^2 = 4x^2 - 24x + 36 \]

Теперь приравняем их:

\[ 64x^2 - 48x + 9 = 4x^2 - 24x + 36 \]

Перенесем все члены в левую часть:

\[ 64x^2 - 4x^2 - 48x + 24x + 9 - 36 = 0 \]

\[ 60x^2 - 24x - 27 = 0 \]

Разделим все члены на 3, чтобы упростить:

\[ 20x^2 - 8x - 9 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$

\[ D = (-8)^2 - 4(20)(-9) = 64 + 720 = 784 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{784} = 28 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 28}{2(20)} = \frac{36}{40} = \frac{9}{10} \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 28}{2(20)} = \frac{-20}{40} = -\frac{1}{2} \]

Способ 2: Разность квадратов

Перенесем все в левую часть:

\[ (8x-3)^2 - (2x-6)^2 = 0 \]

Применим формулу $$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$:

\[ ((8x-3) - (2x-6))((8x-3) + (2x-6)) = 0 \]

Упростим выражения в скобках:

\[ (8x - 3 - 2x + 6)(8x - 3 + 2x - 6) = 0 \]

\[ (6x + 3)(10x - 9) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $$6x + 3 = 0 \rightarrow 6x = -3 \rightarrow x = -3/6 = -1/2$$

2) $$10x - 9 = 0 \rightarrow 10x = 9 \rightarrow x = 9/10$$

Оба способа дают одинаковые корни.

Ответ: $$x_1 = -1/2$$, $$x_2 = 9/10$$.