3. Решите уравнение: а) x³/(x²-9) = (12-x)/(x²-9); б) 6/(x-2) + 5/x = 3.

Решим уравнения:

а) $$\frac{x^3}{x^2-9} = \frac{12-x}{x^2-9}$$

Умножим обе части уравнения на $$x^2 - 9$$, при условии, что $$x^2 - 9 ≠ 0$$, то есть $$x ≠ ±3$$:

$$x^3 = 12 - x$$

$$x^3 + x - 12 = 0$$

Подбором находим один из корней x = 2:

$$2^3 + 2 - 12 = 8 + 2 - 12 = -2 ≠ 0$$

Подбором находим один из корней x = -2:

$$(-2)^3 + (-2) - 12 = -8 + (-2) - 12 = -22 ≠ 0$$

Подбором находим один из корней x = 3:

$$3^3 + 3 - 12 = 27 + 3 - 12 = 18 ≠ 0$$

Подбором находим один из корней x = -3:

$$(-3)^3 + (-3) - 12 = -27 + (-3) - 12 = -42 ≠ 0$$

Подбором находим один из корней x = 1:

$$1^3 + 1 - 12 = 1 + 1 - 12 = -10 ≠ 0$$

Подбором находим один из корней x = -1:

$$(-1)^3 + (-1) - 12 = -1 + (-1) - 12 = -14 ≠ 0$$

Подбором находим один из корней x = 0:

$$0^3 + 0 - 12 = 0 + 0 - 12 = -12 ≠ 0$$

Подбором находим один из корней x = 2.2:

$$2.2^3 + 2.2 - 12 = 10.648 + 2.2 - 12 = 0.848 ≠ 0$$

Подбором находим один из корней x = 2.1:

$$2.1^3 + 2.1 - 12 = 9.261 + 2.1 - 12 = -0.639 ≠ 0$$

Подбором находим один из корней x = 2.12:

$$2.12^3 + 2.12 - 12 = 9.528128 + 2.12 - 12 = -0.351872 ≠ 0$$

Подбором находим один из корней x = 2.13:

$$2.13^3 + 2.13 - 12 = 9.663597 + 2.13 - 12 = -0.206403 ≠ 0$$

Подбором находим один из корней x = 2.14:

$$2.14^3 + 2.14 - 12 = 9.799264 + 2.14 - 12 = -0.060736 ≠ 0$$

Подбором находим один из корней x = 2.141:

$$2.141^3 + 2.141 - 12 = 9.812886341 + 2.141 - 12 = -0.046113659 ≠ 0$$

Подбором находим один из корней x = 2.142:

$$2.142^3 + 2.142 - 12 = 9.826512728 + 2.142 - 12 = -0.031487272 ≠ 0$$

Подбором находим один из корней x = 2.143:

$$2.143^3 + 2.143 - 12 = 9.840143147 + 2.143 - 12 = -0.016856853 ≠ 0$$

Подбором находим один из корней x = 2.144:

$$2.144^3 + 2.144 - 12 = 9.8537776 + 2.144 - 12 = -0.0022224 ≠ 0$$

Подбором находим один из корней x = 2.145:

$$2.145^3 + 2.145 - 12 = 9.867416085 + 2.145 - 12 = 0.012416085 ≠ 0$$

Подбором находим один из корней x = 2.144:

$$2.144^3 + 2.144 - 12 = 9.8537776 + 2.144 - 12 = -0.0022224 ≈ 0$$

Таким образом, приближенное значение одного из корней x ≈ 2.144.

Выполним деление многочлена x³ + x - 12 на (x - 2.144), но так как найден только приближенный корень, то такое разложение многочлена не даст точных корней.

б) $$\frac{6}{x-2} + \frac{5}{x} = 3$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{6x + 5(x-2)}{x(x-2)} = 3$$

$$\frac{6x + 5x - 10}{x^2 - 2x} = 3$$

$$11x - 10 = 3(x^2 - 2x)$$

$$11x - 10 = 3x^2 - 6x$$

$$3x^2 - 17x + 10 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант D равен:

$$D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169$$

Корни:

$$x_1 = \frac{17 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 + 13}{6} = \frac{30}{6} = 5$$

$$x_2 = \frac{17 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 - 13}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Ответ: a) x ≈ 2.144, б) x₁ = 5, x₂ = 2/3