Решите уравнение: a) y(y - 3)(y + 3) - y(y² + 6) = 30; б) y²(y – 5) - y(y+2)² = -2-9x²

Решение:

а) Решим уравнение y(y - 3)(y + 3) - y(y² + 6) = 30:

1. Воспользуемся формулой разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) для первых двух множителей: \( y(y^2 - 9) \).
2. Раскроем скобки: \( y^3 - 9y \).
3. Раскроем скобки во втором слагаемом: \( -y(y^2 + 6) = -y^3 - 6y \).
4. Подставим раскрытые выражения обратно в уравнение: \( (y^3 - 9y) - (y^3 + 6y) = 30 \).
5. Раскроем скобки: \( y^3 - 9y - y^3 - 6y = 30 \).
6. Приведем подобные слагаемые: \( -15y = 30 \).
7. Разделим обе части на -15: \( y = \frac{30}{-15} = -2 \).

б) Решим уравнение y²(y – 5) - y(y+2)² = -2-9x²:

1. Раскроем первые скобки: \( y^3 - 5y^2 \).
2. Раскроем квадрат суммы \( (y+2)^2 = y^2 + 4y + 4 \).
3. Умножим на \( -y \): \( -y(y^2 + 4y + 4) = -y^3 - 4y^2 - 4y \).
4. Подставим раскрытые выражения в уравнение: \( (y^3 - 5y^2) - (y^3 + 4y^2 + 4y) = -2 - 9x^2 \).
5. Раскроем скобки: \( y^3 - 5y^2 - y^3 - 4y^2 - 4y = -2 - 9x^2 \).
6. Приведем подобные слагаемые: \( -9y^2 - 4y = -2 - 9x^2 \).
7. Перенесем все члены в одну сторону: \( -9y^2 - 4y + 9x^2 + 2 = 0 \).
8. Умножим на -1 для удобства: \( 9y^2 + 4y - 9x^2 - 2 = 0 \).
9. Данное уравнение является квадратным относительно \( y \). Для его решения относительно \( y \) применим формулу корней квадратного уравнения \( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 9 \), \( b = 4 \), \( c = -9x^2 - 2 \).
10. Найдем дискриминант: \( D = 4^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-9x^2 - 2) = 16 - 36(-9x^2 - 2) = 16 + 324x^2 + 72 = 324x^2 + 88 \).
11. Найдем корни: \( y = \frac{-4 \pm \sqrt{324x^2 + 88}}{2 \cdot 9} = \frac{-4 \pm \sqrt{4(81x^2 + 22)}}{18} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{81x^2 + 22}}{18} = \frac{-2 \pm \sqrt{81x^2 + 22}}{9} \).

Ответ: а) y = -2; б) y = \(\frac{-2 \pm \sqrt{81x^2 + 22}}{9}\).