Решите уравнение: cos2x + cos^2(x) + sinxcosx = 0

Давайте решим уравнение cos2x + cos²x + sinxcosx = 0. 1. **Используем формулы двойного угла:** Вспомним формулу для косинуса двойного угла: \(\cos2x = \cos^2x - \sin^2x\). Подставим это в исходное уравнение: \[\cos^2x - \sin^2x + \cos^2x + \sin x \cos x = 0\] 2. **Преобразуем:** У нас есть \(\sin^2x\) и \(\cos^2x\). Вспомним, что \(\sin^2x + \cos^2x = 1\), следовательно \(\sin^2x = 1 - \cos^2x\). Подставим это в уравнение: \[\cos^2x - (1 - \cos^2x) + \cos^2x + \sin x \cos x = 0\] Раскрываем скобки: \[\cos^2x - 1 + \cos^2x + \cos^2x + \sin x \cos x = 0\] \[3\cos^2x + \sin x \cos x - 1 = 0\] 3. **Замена переменных:** Разделим всё уравнение на \(\cos^2x\) . Так как \(\cos^2x\) не может быть равно 0, иначе \(\sin x \cos x\) не имеет смысла, то получим \[3 + \tan x - \frac{1}{\cos^2x} = 0\] Или же, так как \(\frac{1}{\cos^2x} = 1+\tan^2x\), то \[3 + \tan x - (1+\tan^2x) = 0\] \[3 + \tan x - 1-\tan^2x = 0\] \[-\tan^2x + \tan x + 2 = 0\] Сделаем замену: \(t = \tan x\). \[-t^2 + t + 2 = 0\] Умножим на -1: \[t^2 - t - 2 = 0\] 4. **Решаем квадратное уравнение:** Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9\] \[t_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1+3}{2} = 2\] \[t_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1-3}{2} = -1\] Возвращаемся к \(\tan x\): \[\tan x = 2 \quad \text{или} \quad \tan x = -1\] 5. **Находим решения для x:** * Для \(\tan x = 2\): \[x = \arctan(2) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\] * Для \(\tan x = -1\): \[x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\] 6. **Ответ:** Итак, решения уравнения: \(x = \arctan(2) + \pi n\), \(x = -\frac{\pi}{4} + \pi k\), где \(n, k\) - целые числа.