Решите уравнение: \( \frac{2}{5} + \log_5 x + \log_5 \sqrt{5x} = 2 \)

Решение:

Запишем условие существования логарифма:

\( x > 0 \).

Преобразуем выражение под корнем:

\[ \sqrt{5x} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{x} = 5^{1/2} x^{1/2} \]

Используем свойство логарифма \( \log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c \):

\[ \log_5 \sqrt{5x} = \log_5 (5^{1/2} x^{1/2}) = \log_5 5^{1/2} + \log_5 x^{1/2} \]

Используем свойство логарифма \( \log_a b^c = c \log_a b \):

\[ \log_5 5^{1/2} + \log_5 x^{1/2} = \frac{1}{2} \log_5 5 + \frac{1}{2} \log_5 x = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \log_5 x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_5 x \]

Подставим это в исходное уравнение:

\[ \frac{2}{5} + \log_5 x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_5 x = 2 \]

Сгруппируем логарифмы:

\[ \log_5 x + \frac{1}{2} \log_5 x = 2 - \frac{2}{5} - \frac{1}{2} \]

\[ \frac{3}{2} \log_5 x = \frac{20 - 4 - 5}{10} \]

\[ \frac{3}{2} \log_5 x = \frac{11}{10} \]

\[ \log_5 x = \frac{11}{10} \cdot \frac{2}{3} = \frac{11}{15} \]

Преобразуем в степенную форму:

\[ x = 5^{11/15} \]

Проверим условие \( x > 0 \). \( 5^{11/15} > 0 \).

Ответ: \( 5^{11/15} \).