Решите уравнение: \( \sin^2 x + \cos^2 x \cdot \operatorname{ctg} x = 1 \)

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) и определение котангенса \( \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \).

Подставим их в уравнение:

\[ 1 + \cos^2 x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = 1 \]

\[ \cos^2 x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = 1 - 1 \]

\[ \frac{\cos^3 x}{\sin x} = 0 \]

Это равенство выполняется, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

\[ \cos^3 x = 0 \implies \cos x = 0 \]

\[ \sin x \neq 0 \]

Значения \( x \), при которых \( \cos x = 0 \): \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Значения \( x \), при которых \( \sin x = 0 \): \( x = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Рассмотрим корни \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \):

Если \( n \) — чётное число, \( n=2m \), то \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m \). При этих значениях \( \sin x = 1 \), что не равно 0.

Если \( n \) — нечётное число, \( n=2m+1 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi (2m+1) = \frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi m = \frac{3\pi}{2} + 2\pi m \). При этих значениях \( \sin x = -1 \), что не равно 0.

Таким образом, все значения \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \), удовлетворяют условию \( \sin x \neq 0 \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).