Решите уравнение: \( \log_2(x+7) + \log_2(x-2) = 3 \)

Решение:

Запишем условие существования логарифмов:

\( x+7 > 0
implies x > -7 \)

\( x-2 > 0
implies x > 2 \)

Общее условие: \( x > 2 \).

Используем свойство логарифма \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \):

\[ \log_2((x+7)(x-2)) = 3 \]

Преобразуем уравнение:

\[ (x+7)(x-2) = 2^3 \]

\[ x^2 - 2x + 7x - 14 = 8 \]

\[ x^2 + 5x - 14 - 8 = 0 \]

\[ x^2 + 5x - 22 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-22) = 25 + 88 = 113 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{113}}{2} \]

\[ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{113}}{2} \]

Так как \( \sqrt{113} \) находится между \( \sqrt{100}=10 \) и \( \sqrt{121}=11 \), то \( \sqrt{113} \approx 10.6 \).

\( x_1 \approx \frac{-5 + 10.6}{2} = \frac{5.6}{2} = 2.8 \).

\( x_2 \approx \frac{-5 - 10.6}{2} = \frac{-15.6}{2} = -7.8 \).

Проверим условие \( x > 2 \). Корень \( x_1 \approx 2.8 \) удовлетворяет условию. Корень \( x_2 \approx -7.8 \) не удовлетворяет условию.

Ответ: \( \frac{-5 + \sqrt{113}}{2} \).