Решите уравнение: \( \frac{3\frac{1}{5}}{z-\frac{1}{2}} = \frac{2\frac{2}{3}}{z+\frac{1}{3}} \)

Решение:

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: \( 3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5} \) и \( 2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3} \).
2. Перепишем уравнение: \( \frac{\frac{16}{5}}{z-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{8}{3}}{z+\frac{1}{3}} \).
3. Умножим крест-накрест: \( \frac{16}{5} \cdot (z+\frac{1}{3}) = \frac{8}{3} \cdot (z-\frac{1}{2}) \).
4. Раскроем скобки: \( \frac{16}{5}z + \frac{16}{15} = \frac{8}{3}z - \frac{8}{6} \).
5. \( \frac{16}{5}z + \frac{16}{15} = \frac{8}{3}z - \frac{4}{3} \).
6. Приведём дроби к общему знаменателю 15: \( \frac{16 \cdot 3}{15}z + \frac{16}{15} = \frac{8 \cdot 5}{15}z - \frac{4 \cdot 5}{15} \).
7. \( \frac{48}{15}z + \frac{16}{15} = \frac{40}{15}z - \frac{20}{15} \).
8. Умножим обе части на 15: \( 48z + 16 = 40z - 20 \).
9. Перенесём члены с \( z \) в левую часть, а константы — в правую: \( 48z - 40z = -20 - 16 \).
10. \( 8z = -36 \).
11. \( z = -\frac{36}{8} \).
12. \( z = -\frac{9}{2} \).
13. \( z = -4,5 \).

Ответ: \( z = -4,5 \).