16. Решите уравнение х² + (y - 1)² = 1 в целых числах. В ответ запишите количество пар, являющихся решениями уравнения.

Решение:

Рассмотрим уравнение \( x^2 + (y - 1)^2 = 1 \) в целых числах.

Так как x и y целые числа, то x² и (y - 1)² могут принимать только целые неотрицательные значения.

Возможны два случая:

1. x² = 1 и (y - 1)² = 0
2. x² = 0 и (y - 1)² = 1

• Случай 1:

x² = 1, следовательно, x = 1 или x = -1.

(y - 1)² = 0, следовательно, y - 1 = 0, значит, y = 1.

Получаем два решения: (1; 1) и (-1; 1).

• Случай 2:

x² = 0, следовательно, x = 0.

(y - 1)² = 1, следовательно, y - 1 = 1 или y - 1 = -1.

Если y - 1 = 1, то y = 2.

Если y - 1 = -1, то y = 0.

Получаем два решения: (0; 2) и (0; 0).

Всего 4 решения: (1; 1), (-1; 1), (0; 2) и (0; 0).

Ответ: 4