Решите уравнение (х+1)⁴ + (x+1)² – 6 = 0.

Решим уравнение $$(x+1)^4 + (x+1)^2 - 6 = 0$$.

Введем замену $$t = (x+1)^2$$, где $$t \ge 0$$.

Тогда уравнение примет вид: $$t^2 + t - 6 = 0$$.

Решим квадратное уравнение относительно t. Дискриминант: $$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$.

Найдем корни: $$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ и $$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$.

Так как $$t = (x+1)^2 \ge 0$$, то $$t_2 = -3$$ не является решением. Следовательно, $$t = 2$$.

Тогда $$(x+1)^2 = 2$$.

Раскрываем квадрат: $$x^2 + 2x + 1 = 2$$.

Переносим все в левую часть: $$x^2 + 2x - 1 = 0$$.

Вычислим дискриминант: $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$$.

Найдем корни: $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 2\sqrt{2}}{2} = -1 + \sqrt{2}$$ и $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 2\sqrt{2}}{2} = -1 - \sqrt{2}$$.

Ответ: $$-1 + \sqrt{2}$$; $$-1 - \sqrt{2}$$