579. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: a) x² – 2x – 9 = 0; б) 3t² – 4t – 4 = 0;

Теорема Виета гласит, что для квадратного уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$ с корнями $$x_1$$ и $$x_2$$: $$x_1 + x_2 = -b/a$$ $$x_1 \cdot x_2 = c/a$$ Обратная теорема Виета: Если для чисел $$x_1$$ и $$x_2$$ выполнены условия $$x_1 + x_2 = -b/a$$ и $$x_1 \cdot x_2 = c/a$$, то эти числа являются корнями квадратного уравнения.

1. a) $$x^2 - 2x - 9 = 0$$ Найдем корни через дискриминант: $$D = (-2)^2 - 4(1)(-9) = 4 + 36 = 40$$ $$x_1 = (2 + \sqrt{40})/2 = (2 + 2\sqrt{10})/2 = 1 + \sqrt{10}$$ $$x_2 = (2 - \sqrt{40})/2 = (2 - 2\sqrt{10})/2 = 1 - \sqrt{10}$$ Проверим теорему Виета: $$x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{10}) + (1 - \sqrt{10}) = 2 = -(-2)/1$$ $$x_1 \cdot x_2 = (1 + \sqrt{10})(1 - \sqrt{10}) = 1 - 10 = -9 = -9/1$$ Ответ: Корни уравнения $$x_1 = 1 + \sqrt{10}$$ и $$x_2 = 1 - \sqrt{10}$$.
2. б) $$3t^2 - 4t - 4 = 0$$ Найдем корни через дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4(3)(-4) = 16 + 48 = 64$$ $$t_1 = (4 + \sqrt{64})/(2 \cdot 3) = (4 + 8)/6 = 12/6 = 2$$ $$t_2 = (4 - \sqrt{64})/(2 \cdot 3) = (4 - 8)/6 = -4/6 = -2/3$$ Проверим теорему Виета: $$t_1 + t_2 = 2 - 2/3 = 6/3 - 2/3 = 4/3 = -(-4)/3$$ $$t_1 \cdot t_2 = 2 \cdot (-2/3) = -4/3 = -4/3$$ Ответ: Корни уравнения $$t_1 = 2$$ и $$t_2 = -2/3$$.