764. Решите уравнение и выполните проверку п теореме Виета: a) x²-5√2x+12 = 0; б) x² + 2√3x-72 = 0;

а) $$x^2 - 5\sqrt{2}x + 12 = 0$$

Дискриминант: $$D = (-5\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 50 - 48 = 2$$

$$x_1 = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

$$x_2 = \frac{5\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$

Проверка по теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$$. Верно, т.к. сумма корней равна $$5\sqrt{2}$$.

$$x_1 \cdot x_2 = 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 6 \cdot 2 = 12$$. Верно, т.к. произведение корней равно 12.

б) $$x^2 + 2\sqrt{3}x - 72 = 0$$

Дискриминант: $$D = (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 12 + 288 = 300$$

$$x_1 = \frac{-2\sqrt{3} + \sqrt{300}}{2} = \frac{-2\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$

$$x_2 = \frac{-2\sqrt{3} - \sqrt{300}}{2} = \frac{-2\sqrt{3} - 10\sqrt{3}}{2} = \frac{-12\sqrt{3}}{2} = -6\sqrt{3}$$

Проверка по теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 4\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = -2\sqrt{3}$$. Верно, т.к. сумма корней равна $$-2\sqrt{3}$$.

$$x_1 \cdot x_2 = 4\sqrt{3} \cdot (-6\sqrt{3}) = -24 \cdot 3 = -72$$. Верно, т.к. произведение корней равно -72.

Ответ: a) $$x_1 = 3\sqrt{2}, x_2 = 2\sqrt{2}$$; б) $$x_1 = 4\sqrt{3}, x_2 = -6\sqrt{3}$$.