Решите уравнение: корень из 2x + 1 = x

Решение:

1. Убедимся, что правая часть неотрицательна: \( x \ge 0 \).
2. Возведем обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{2x + 1})^2 = x^2 \)
3. Получаем квадратное уравнение: \( 2x + 1 = x^2 \)
4. Приведем к стандартному виду: \( x^2 - 2x - 1 = 0 \)
5. Найдем дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 \)
6. Найдем корни: \( x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \)
7. Проверим условие \( x \ge 0 \): \( 1 + \sqrt{2} \approx 2.41 \ge 0 \) (подходит), \( 1 - \sqrt{2} \approx -0.41 < 0 \) (не подходит).
8. Проверим оставшийся корень \( x = 1 + \sqrt{2} \): \( \sqrt{2(1+\sqrt{2}) + 1} = \sqrt{2+2\sqrt{2}+1} = \sqrt{3+2\sqrt{2}} \).
9. Попробуем возвести \( 1 + \sqrt{2} \) в квадрат: \( (1+\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3+2\sqrt{2} \).
10. Следовательно, \( \sqrt{3+2\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2} \). Уравнение выполняется.

Ответ: x = 1 + \(\sqrt{2}\).