6.7. Решите уравнение: 1) log₂(3^(5x-3)+1) = 2; 2) log₃(3^(x-1)+6) = x; 3) log₂(2ˣ+7)=3-x; 4) log₆(6⁻ˣ-5) = x + 1.

Решим уравнения:

1) $$log_2(3^{5x-3}+1) = 2$$.

По определению логарифма, $$3^{5x-3} + 1 = 2^2 = 4$$. $$3^{5x-3} = 3$$. $$5x - 3 = 1$$. $$5x = 4$$. $$x = \frac{4}{5} = 0.8$$.

Ответ: $$x = 0.8$$

---

2) $$log_3(3^{x-1} + 6) = x$$.

По определению логарифма, $$3^{x-1} + 6 = 3^x$$.

Запишем $$3^{x-1} = \frac{3^x}{3}$$. Тогда уравнение примет вид: $$\frac{3^x}{3} + 6 = 3^x$$.

Умножим обе части уравнения на 3: $$3^x + 18 = 3 \cdot 3^x$$. $$2 \cdot 3^x = 18$$. $$3^x = 9$$. $$x = 2$$.

Ответ: $$x=2$$

---

3) $$log_2(2^x + 7) = 3 - x$$.

По определению логарифма, $$2^x + 7 = 2^{3-x}$$. $$2^x + 7 = \frac{2^3}{2^x}$$.

Пусть $$y = 2^x$$. Тогда $$y + 7 = \frac{8}{y}$$. $$y^2 + 7y = 8$$. $$y^2 + 7y - 8 = 0$$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$$.

Корни: $$y_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 + 9}{2} = 1$$. $$y_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 - 9}{2} = -8$$.

Так как $$y = 2^x > 0$$, то $$y = 1$$. $$2^x = 1$$. $$x = 0$$.

Ответ: $$x=0$$

---

4) $$log_6(6^{-x} - 5) = x + 1$$.

По определению логарифма, $$6^{-x} - 5 = 6^{x+1}$$. $$\frac{1}{6^x} - 5 = 6 \cdot 6^x$$.

Пусть $$y = 6^x$$. Тогда $$\frac{1}{y} - 5 = 6y$$. $$1 - 5y = 6y^2$$. $$6y^2 + 5y - 1 = 0$$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$$.

Корни: $$y_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{12} = \frac{-5 + 7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$. $$y_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{12} = \frac{-5 - 7}{12} = -1$$.

Так как $$y = 6^x > 0$$, то $$y = \frac{1}{6}$$. $$6^x = \frac{1}{6} = 6^{-1}$$. $$x = -1$$.

Ответ: $$x=-1$$