6.6. Решите уравнение: 1) log3(1/x)+log3(3√x)=4/3; 2) log₅x-log₂₅x+log₆₂₅x=3/4; 3) lg lg lg x = 0.

Решим уравнения:

1) $$log_3(\frac{1}{x})+log_3(\sqrt[3]{x}) = \frac{4}{3}$$.

Используем свойства логарифмов: $$log_a(b) + log_a(c) = log_a(bc)$$ и $$log_a(\frac{1}{b}) = -log_a(b)$$. Тогда уравнение примет вид: $$log_3(\sqrt[3]{x}) - log_3(x) = \frac{4}{3}$$.

Запишем $$log_3(\sqrt[3]{x}) = log_3(x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3}log_3(x)$$. Следовательно, уравнение можно переписать как: $$ \frac{1}{3}log_3(x) - log_3(x) = \frac{4}{3}$$.

Упростим: $$\frac{1}{3}log_3(x) - log_3(x) = -\frac{2}{3}log_3(x) = \frac{4}{3}$$. Теперь можно выразить логарифм: $$log_3(x) = -\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} = -2$$.

Наконец, найдем x: $$x = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$$.

Ответ: $$x=\frac{1}{9}$$

2) $$log_5(x) - log_{25}(x) + log_{625}(x) = \frac{3}{4}$$.

Используем свойство замены основания логарифма: $$log_a(b) = \frac{log_c(b)}{log_c(a)}$$. Перейдем к основанию 5:

$$log_5(x) - \frac{log_5(x)}{log_5(25)} + \frac{log_5(x)}{log_5(625)} = \frac{3}{4}$$.

Учитывая, что $$log_5(25) = 2$$ и $$log_5(625) = 4$$, уравнение становится: $$log_5(x) - \frac{log_5(x)}{2} + \frac{log_5(x)}{4} = \frac{3}{4}$$.

Приведем к общему знаменателю: $$\frac{4log_5(x) - 2log_5(x) + log_5(x)}{4} = \frac{3}{4}$$.

$$3log_5(x) = 3$$ $$log_5(x) = 1$$ $$x = 5^1 = 5$$.

Ответ: $$x=5$$

3) $$lg(lg(lg(x))) = 0$$.

Применим антилогарифм (основание 10) к обеим частям уравнения: $$lg(lg(x)) = 10^0 = 1$$.

Снова применим антилогарифм: $$lg(x) = 10^1 = 10$$.

И еще раз: $$x = 10^{10}$$.

Ответ: $$x = 10^{10}$$