6.8. Решите уравнение: 1) log₆(6^(x+1)-30) = x; 2) log₅(6-5ˣ) = 1-x.

Решим уравнения:

1) $$log_6(6^{x+1} - 30) = x$$.

По определению логарифма, $$6^{x+1} - 30 = 6^x$$. $$6 \cdot 6^x - 30 = 6^x$$. $$5 \cdot 6^x = 30$$. $$6^x = 6$$. $$x = 1$$.

Ответ: $$x=1$$

2) $$log_5(6 - 5^x) = 1 - x$$.

По определению логарифма, $$6 - 5^x = 5^{1-x}$$. $$6 - 5^x = \frac{5}{5^x}$$.

Умножим на $$5^x$$: $$6 \cdot 5^x - (5^x)^2 = 5$$. $$(5^x)^2 - 6 \cdot 5^x + 5 = 0$$.

Пусть $$y = 5^x$$. Тогда $$y^2 - 6y + 5 = 0$$.

Решим квадратное уравнение. $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$$.

Корни: $$y_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5$$. $$y_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1$$.

Если $$y = 5$$, то $$5^x = 5$$, значит $$x = 1$$.

Если $$y = 1$$, то $$5^x = 1$$, значит $$x = 0$$.

Ответ: $$x=1, x=0$$