Решите уравнение: $$\log_{\frac{1}{5}} (4x + 7) = -2$$

Пошаговое решение:

1. Запишем уравнение: $$ \log_{\frac{1}{5}} (4x + 7) = -2 $$
2. Представим число -2 как логарифм по основанию $$\frac{1}{5}$$: $$-2 = \log_{\frac{1}{5}} (\frac{1}{5})^{-2}$$.
3. Подставим в уравнение: $$ \log_{\frac{1}{5}} (4x + 7) = \log_{\frac{1}{5}} (\frac{1}{5})^{-2} $$
4. Поскольку основания логарифмов равны, приравняем аргументы: $$ 4x + 7 = (\frac{1}{5})^{-2} $$ $$ 4x + 7 = 5^2 $$ $$ 4x + 7 = 25 $$
5. Решим полученное линейное уравнение: $$ 4x = 25 - 7 $$ $$ 4x = 18 $$ $$ x = \frac{18}{4} $$ $$ x = \frac{9}{2} $$ $$ x = 4.5 $$
6. Проверим, что $$4x + 7 > 0$$: $$4(4.5) + 7 = 18 + 7 = 25 > 0$$. Условие выполняется.

Ответ: $$4.5$$