Решите уравнение методом введения новой переменной: (x² - 2x)(x² - 2x - 7) = 8.

Решим уравнение $$(x^2 - 2x)(x^2 - 2x - 7) = 8$$. Введем замену $$t = x^2 - 2x$$, тогда уравнение примет вид: $$t(t - 7) = 8$$ $$t^2 - 7t = 8$$ $$t^2 - 7t - 8 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно t: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$$ $$t_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 9}{2} = 8$$ $$t_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 9}{2} = -1$$ Вернемся к замене: $$x^2 - 2x = 8$$ или $$x^2 - 2x = -1$$ Решим первое уравнение: $$x^2 - 2x - 8 = 0$$ $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$ $$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$$ Решим второе уравнение: $$x^2 - 2x + 1 = 0$$ $$(x - 1)^2 = 0$$ $$x = 1$$ Тогда корни уравнения: $$x_1 = 4, x_2 = -2, x_3 = 1$$. Ответ: $$x_1 = 4, x_2 = -2, x_3 = 1$$