5. Решите уравнение: 4sin²x = -4sin(-x) - 1. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-2π; π/2].

Пошаговое решение:

1. Используем свойство sin(-x) = -sin(x): 4sin²x = -4*(-sin(x)) - 1
2. Преобразуем уравнение: 4sin²x = 4sin(x) - 1
3. Переносим все в одну сторону: 4sin²x - 4sin(x) + 1 = 0
4. Обозначим sin(x) = t: 4t² - 4t + 1 = 0
5. Решаем квадратное уравнение: (2t - 1)² = 0
6. Находим t: 2t - 1 = 0, t = 1/2
7. Возвращаемся к sin(x): sin(x) = 1/2
8. Находим корни уравнения sin(x) = 1/2: x = π/6 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk, где k - целое число.
9. Проверяем, какие корни принадлежат промежутку [-2π; π/2]:
   • Для x = π/6 + 2πk:
     • k = -1: x = π/6 - 2π = π/6 - 12π/6 = -11π/6 (принадлежит промежутку, так как -2π ≈ -12.56/6π ≈ -11π/6 ≈ -5.75)
     • k = 0: x = π/6 (принадлежит промежутку)
   • Для x = 5π/6 + 2πk:
     • k = -1: x = 5π/6 - 2π = 5π/6 - 12π/6 = -7π/6 (принадлежит промежутку, так как -2π ≈ -12.56/6π ≈ -7π/6 ≈ -3.66)
     • k = 0: x = 5π/6 (не принадлежит промежутку, так как 5π/6 > π/2)

Ответ: -11π/6, -7π/6, π/6