Решите уравнение: 1) sin (x/2 + π/5) = -1/2 ;

1) Решим уравнение sin (x/2 + π/5) = -1/2.

Общий вид решения уравнения sin t = a: t = (-1)ⁿ arcsin a + πn, где n ∈ Z.

В нашем случае:

$$t = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{5}$$, $$a = -\frac{1}{2}$$

$$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$$

Тогда:

$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{5} = (-1)^n(-\frac{\pi}{6}) + \pi n, n \in Z$$

Рассмотрим два случая:

1) n - четное, n = 2k, k ∈ Z:

$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{5} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$$

$$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{5} + 2\pi k$$

$$\frac{x}{2} = -\frac{5\pi + 6\pi}{30} + 2\pi k$$

$$\frac{x}{2} = -\frac{11\pi}{30} + 2\pi k$$

$$x = -\frac{11\pi}{15} + 4\pi k, k \in Z$$

2) n - нечетное, n = 2k + 1, k ∈ Z:

$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{6} + (2k+1)\pi$$

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{5} + \pi(2k+1)$$

$$\frac{x}{2} = \frac{5\pi - 6\pi}{30} + \pi(2k+1)$$

$$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{30} + \pi(2k+1)$$

$$x = -\frac{\pi}{15} + 2\pi(2k+1), k \in Z$$

$$x = -\frac{\pi}{15} + 4\pi k + 2\pi, k \in Z$$

Ответ: $$x = -\frac{11\pi}{15} + 4\pi k, k \in Z$$, $$x = -\frac{\pi}{15} + 4\pi k + 2\pi, k \in Z$$