4) 3 sin² x – 12 sin x cos x + 9cos² x=0;

4) Решим уравнение $$3 \sin^2 x - 12 \sin x \cos x + 9 \cos^2 x = 0$$.

Разделим обе части уравнения на $$\cos^2 x$$ (при условии, что $$\cos x
e 0$$):

$$3 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 12 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 9 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$

$$3 \tan^2 x - 12 \tan x + 9 = 0$$

Разделим обе части на 3:

$$\tan^2 x - 4 \tan x + 3 = 0$$

Замена: $$t = \tan x$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 4t + 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$$

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 2}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$$

Вернемся к замене:

1) $$\tan x = 3$$

$$x = \arctan(3) + \pi n, n \in Z$$

2) $$\tan x = 1$$

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$$

Ответ: $$x = \arctan(3) + \pi n, n \in Z$$, $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$$