Решите уравнение \(\sqrt{2x^2 + 3x + 1} = x+1\)

Решение:

Дано уравнение \( \sqrt{2x^2 + 3x + 1} = x+1 \).

1. Наложим ограничения:

a) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( 2x^2 + 3x + 1 \geq 0 \).

Найдем корни уравнения \( 2x^2 + 3x + 1 = 0 \):

\( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \).

\( x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 1}{4} \).

\( x_1 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5 \).

\( x_2 = \frac{-3 - 1}{4} = -\frac{4}{4} = -1 \).

Таким образом, \( 2x^2 + 3x + 1 \geq 0 \) при \( x \leq -1 \) или \( x \geq -0.5 \).

b) Правая часть уравнения (которая равна квадратному корню) должна быть неотрицательной: \( x+1 \geq 0 \), следовательно, \( x \geq -1 \).

Объединяя ограничения, получаем: \( x = -1 \) или \( x \geq -0.5 \).

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

\( (\sqrt{2x^2 + 3x + 1})^2 = (x+1)^2 \)

\( 2x^2 + 3x + 1 = x^2 + 2x + 1 \)

3. Перенесем все члены в одну сторону:

\( 2x^2 - x^2 + 3x - 2x + 1 - 1 = 0 \)

\( x^2 + x = 0 \)

4. Вынесем общий множитель \( x \):

\( x(x+1) = 0 \)

5. Найдем корни полученного уравнения:

\( x = 0 \) или \( x+1 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x = -1 \).

6. Проверим найденные корни на соответствие ограничениям:

• Для \( x = 0 \): \( 0 \geq -0.5 \) (условие выполняется).
• Для \( x = -1 \): \( x = -1 \) (условие выполняется).

Оба корня подходят.

Ответ: \( x = 0, x = -1 \).