5. Решите уравнение 2(x²+1/x²)-7(x+1/x)+9=0.

Решим уравнение:

$$2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 7\left(x + \frac{1}{x}\right) + 9 = 0$$

Пусть $$t = x + \frac{1}{x}$$, тогда $$t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$$, значит $$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$$.

Подставим в уравнение:

$$2(t^2 - 2) - 7t + 9 = 0$$ $$2t^2 - 4 - 7t + 9 = 0$$ $$2t^2 - 7t + 5 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно t:

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$$ $$t_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$ $$t_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

Вернемся к переменной x:

1) $$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$$

$$2x^2 + 2 = 5x$$ $$2x^2 - 5x + 2 = 0$$ $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$$ $$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

2) $$x + \frac{1}{x} = 1$$

$$x^2 + 1 = x$$ $$x^2 - x + 1 = 0$$ $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$$

Действительных корней нет.

Ответ: x = 2, x = 1/2