20. Решите уравнение x⁴ = (x – 20)².

1. Запишем уравнение:

$$x^4 = (x - 20)^2$$

2. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$\sqrt{x^4} = \sqrt{(x - 20)^2}$$ $$x^2 = |x - 20|$$

3. Рассмотрим два случая:

a) x - 20 ≥ 0, тогда |x - 20| = x - 20

$$x^2 = x - 20$$ $$x^2 - x + 20 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(20) = 1 - 80 = -79$$

Так как D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

b) x - 20 < 0, тогда |x - 20| = -(x - 20) = 20 - x

$$x^2 = 20 - x$$ $$x^2 + x - 20 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

4. Проверим найденные корни:

a) x = 4

$$4^4 = (4 - 20)^2$$ $$256 = (-16)^2$$ $$256 = 256$$x = 4 является корнем уравнения.

b) x = -5

$$(-5)^4 = (-5 - 20)^2$$ $$625 = (-25)^2$$ $$625 = 625$$x = -5 является корнем уравнения.

Ответ: -5; 4