Решите уравнение $ x^2 - 15 = 2x $. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из них.

Question

$Фото задания: Решите уравнение $ x^2 - 15 = 2x $. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из них.$ Фото задания

Accepted Answer

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ ax^2 + bx + c = 0 $.

$ x^2 - 15 - 2x = 0 $

$ x^2 - 2x - 15 = 0 $

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу дискриминанта или теорему Виета.

Способ 1: Через дискриминант

Коэффициенты уравнения: $ a = 1 $, $ b = -2 $, $ c = -15 $.

Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \]

Так как $ D > 0 $, уравнение имеет два корня.

Найдём корни по формуле $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $:

\[ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Способ 2: По теореме Виета

Для приведённого квадратного уравнения $ x^2 + px + q = 0 $ сумма корней $ x_1 + x_2 = -p $, а произведение корней $ x_1 \cdot x_2 = q $.

В нашем уравнении $ x^2 - 2x - 15 = 0 $: $ p = -2 $, $ q = -15 $.

Значит, $ x_1 + x_2 = -(-2) = 2 $ и $ x_1 \cdot x_2 = -15 $.

Подбираем пары чисел, произведение которых равно -15:

Пара чисел -3 и 5 удовлетворяет обоим условиям. Корни уравнения: -3 и 5.

По условию нужно записать меньший из корней.

Сравниваем корни: $ -3 $ и $ 5 $. Меньший корень — $ -3 $.

Ответ: -3

Решите уравнение \( x^2 - 15 = 2x \). Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из них.