Решите уравнение (x-2)^4-(x-2)^2-6=0.

Решение:

Это биквадратное уравнение относительно \( (x-2)^2 \). Сделаем замену переменной:

Пусть \( y = (x-2)^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - y - 6 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Дискриминант:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]

Корни для \( y \):

\[ y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \]\[ y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = (x-2)^2 \).

Случай 1: \( y_1 = 3 \)

\[ (x-2)^2 = 3 \]\[ x-2 = \pm\sqrt{3} \]\[ x = 2 \pm\sqrt{3} \]

Случай 2: \( y_2 = -2 \)

\[ (x-2)^2 = -2 \]

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, действительные корни уравнения:

Ответ: \( 2+\sqrt{3}, 2-\sqrt{3} \).