Решите уравнение (x+2)⁴-4(x+2)² - 5 = 0.

Задание 1. Решение уравнения

Для решения уравнения \( (x+2)^4 - 4(x+2)^2 - 5 = 0 \) введём замену переменной. Пусть \( y = (x+2)^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 4y - 5 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( y \). Решим его с помощью дискриминанта:

1. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \) = \( (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36 \).
2. Корни \( y_1 \) и \( y_2 \) находятся по формуле \( y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
3. \( y_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).
4. \( y_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \).

Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \), подставив найденные значения \( y \) в замену \( y = (x+2)^2 \).

Случай 1: \( y = 5 \)

\[ (x+2)^2 = 5 \]

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\[ x+2 = \pm\sqrt{5} \]

Отсюда получаем два корня:

\[ x_1 = -2 + \sqrt{5} \]

\[ x_2 = -2 - \sqrt{5} \]

Случай 2: \( y = -1 \)

\[ (x+2)^2 = -1 \]

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, действительные корни исходного уравнения:

\[ x = -2 \pm \sqrt{5} \]

Ответ: \( x = -2 \pm \sqrt{5} \)