Решите уравнение: x^4 - 5x^2 - 6 = 0

Решение:

Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной. Пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - 5y - 6 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \]

Найдем корни \( y_1 \) и \( y_2 \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = x^2 \):

1. \( x^2 = y_1 = 6 \)

Отсюда \( x = ± √{6} \).

2. \( x^2 = y_2 = -1 \)

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Ответ: \( x = ± √{6} \).