В треугольнике ABC углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой BH и биссектрисой BD.

Решение:

В треугольнике ABC: \( ∠A = 20^\circ \), \( ∠C = 60^\circ \).

1. Найдем угол B в треугольнике ABC. Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \).

\[ ∠B = 180^\circ - (∠A + ∠C) = 180^\circ - (20^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \]

2. BH — высота, значит, \( ∠BHC = 90^\circ \). Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC.

\[ ∠HBC = 180^\circ - 90^\circ - ∠C = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \]

3. BD — биссектриса угла B. Она делит угол B пополам.

\[ ∠ABC = 100^\circ \]

\[ ∠DBC = ∠ABD = \frac{∠ABC}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ \]

4. Теперь найдем угол между высотой BH и биссектрисой BD. Этот угол равен разности углов \( ∠DBC \) и \( ∠HBC \).

\[ ∠DBH = ∠DBC - ∠HBC = 50^\circ - 30^\circ = 20^\circ \]

Ответ: 20°.