Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 30 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 30 минут. В результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

Дано:

\( S_{AB} = 30 \text{ км} \)

\( v_{AB} = v \text{ км/ч} \)

\( t_{отдыха} = 30 \text{ мин} = 0.5 \text{ ч} \)

\( v_{BA} = v + 10 \text{ км/ч} \)

\( t_{AB} = t_{BA} \)

Найти:

\( v \text{ км/ч} \)

Решение:

1. Найдем время в пути из А в В: \( t_{AB} = \frac{S_{AB}}{v_{AB}} = \frac{30}{v} \) часов.
2. Найдем время в пути из В в А (без учета остановки): \( t_{обратно} = \frac{S_{BA}}{v_{BA}} = \frac{30}{v+10} \) часов.
3. Общее время в пути из В в А (с учетом остановки): \( t_{BA} = t_{обратно} + t_{отдыха} = \frac{30}{v+10} + 0.5 \) часов.
4. По условию задачи, время в пути из А в В равно времени в пути из В в А: \( t_{AB} = t_{BA} \).
5. Составим и решим уравнение:

\[ \frac{30}{v} = \frac{30}{v+10} + 0.5 \]

Умножим обе части уравнения на \( v(v+10) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 30(v+10) = 30v + 0.5v(v+10) \]

\[ 30v + 300 = 30v + 0.5v^2 + 5v \]

\[ 300 = 0.5v^2 + 5v \]

Умножим на 2:

\[ 600 = v^2 + 10v \]

\[ v^2 + 10v - 600 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( v \). Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 100 + 2400 = 2500 \]

Найдем корни \( v_1 \) и \( v_2 \):

\[ v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 50}{2} = \frac{40}{2} = 20 \]

\[ v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - 50}{2} = \frac{-60}{2} = -30 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, то \( v = 20 \text{ км/ч} \).

Ответ: 20 км/ч.