597. Решите уравнение: a) \frac{5}{y-2} - \frac{4}{y-3} = \frac{1}{y}; б) \frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x+3}; в) \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x^2-2x} = \frac{8}{x^3-4x}; г) \frac{10}{y^3-y} + \frac{1}{y^2-y} = \frac{1}{1+y}; д) 1 + \frac{45}{x^2-8x+16} = \frac{14}{x-4}; e) \frac{5}{x-1} - \frac{4}{3-6x+3x^2} = 3.

Решим каждое уравнение пошагово.

а) \frac{5}{y-2} - \frac{4}{y-3} = \frac{1}{y}

1. Приведем дроби к общему знаменателю:
2. \frac{5y(y-3) - 4y(y-2) - 1(y-2)(y-3)}{y(y-2)(y-3)} = 0
3. Раскроем скобки в числителе:
4. \frac{5y^2-15y - 4y^2+8y - (y^2-3y-2y+6)}{y(y-2)(y-3)} = 0
5. \frac{5y^2-15y - 4y^2+8y - y^2+5y-6}{y(y-2)(y-3)} = 0
6. \frac{5y^2-15y - 4y^2+8y - y^2+5y-6}{y(y-2)(y-3)} = 0
7. Приведем подобные члены:
8. \frac{-2y - 6}{y(y-2)(y-3)} = 0
9. -2y - 6 = 0
10. -2y = 6
11. y = -3
12. Проверим корни на допустимые значения:
13. y
    eq 0, y
    eq 2, y
    eq 3
14. Корень y = -3 удовлетворяет условию.

Ответ: y = -3

б) \frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x+3}

1. Приведем к общему знаменателю:
2. \frac{(x+2)(x+3) + 2(x+1)(x+3) - 6(x+1)(x+2)}{2(x+1)(x+2)(x+3)} = 0
3. \frac{x^2+3x+2x+6 + 2(x^2+3x+x+3) - 6(x^2+2x+x+2)}{2(x+1)(x+2)(x+3)} = 0
4. \frac{x^2+5x+6 + 2x^2+8x+6 - 6x^2-18x-12}{2(x+1)(x+2)(x+3)} = 0
5. \frac{-3x^2-5x}{2(x+1)(x+2)(x+3)} = 0
6. -3x^2-5x = 0
7. x(-3x-5) = 0
8. x_1 = 0
9. -3x-5 = 0
10. -3x = 5
11. x_2 = -\frac{5}{3}
12. Проверим корни на допустимые значения:
13. x
    eq -1, x
    eq -2, x
    eq -3
14. Корень x_1 = 0 и x_2 = -\frac{5}{3} удовлетворяет условию.

Ответ: x = 0, x = -\frac{5}{3}

в) \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x^2-2x} = \frac{8}{x^3-4x}

1. \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x(x-2)} = \frac{8}{x(x-2)(x+2)}
2. Приведем к общему знаменателю:
3. \frac{x(x-2) + (x+2) - 8}{x(x-2)(x+2)} = 0
4. \frac{x^2-2x + x+2 - 8}{x(x-2)(x+2)} = 0
5. \frac{x^2-x-6}{x(x-2)(x+2)} = 0
6. x^2-x-6 = 0
7. D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25
8. x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3
9. x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2
10. Проверим корни на допустимые значения:
11. x
    eq 0, x
    eq 2, x
    eq -2
12. Корень x = -2 не удовлетворяет условию.

Ответ: x = 3

г) \frac{10}{y^3-y} + \frac{1}{y^2-y} = \frac{1}{1+y}

1. \frac{10}{y(y^2-1)} + \frac{1}{y(y-1)} = \frac{1}{1+y}
2. \frac{10}{y(y-1)(y+1)} + \frac{1}{y(y-1)} = \frac{1}{1+y}
3. Приведем к общему знаменателю:
4. \frac{10 + (y+1) - y(y-1)}{y(y-1)(y+1)} = 0
5. \frac{10 + y+1 - y^2+y}{y(y-1)(y+1)} = 0
6. \frac{-y^2 + 2y + 11}{y(y-1)(y+1)} = 0
7. -y^2 + 2y + 11 = 0
8. y^2 - 2y - 11 = 0
9. D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 4 + 44 = 48
10. y_1 = \frac{2 + \sqrt{48}}{2} = \frac{2 + 4\sqrt{3}}{2} = 1 + 2\sqrt{3}
11. y_2 = \frac{2 - \sqrt{48}}{2} = \frac{2 - 4\sqrt{3}}{2} = 1 - 2\sqrt{3}
12. Проверим корни на допустимые значения:
13. y
    eq 0, y
    eq 1, y
    eq -1
14. Корень y_1 = 1 + 2\sqrt{3} и y_2 = 1 - 2\sqrt{3} удовлетворяет условию.

Ответ: y = 1 + 2\sqrt{3}, y = 1 - 2\sqrt{3}

д) 1 + \frac{45}{x^2-8x+16} = \frac{14}{x-4}

1. 1 + \frac{45}{(x-4)^2} = \frac{14}{x-4}
2. \frac{(x-4)^2 + 45}{(x-4)^2} = \frac{14}{x-4}
3. \frac{x^2-8x+16 + 45}{(x-4)^2} = \frac{14}{x-4}
4. \frac{x^2-8x+61}{(x-4)^2} = \frac{14}{x-4}
5. x^2-8x+61 = 14(x-4)
6. x^2-8x+61 = 14x-56
7. x^2-8x+61 - 14x+56 = 0
8. x^2-22x+117 = 0
9. D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (117) = 484 - 468 = 16
10. x_1 = \frac{22 + \sqrt{16}}{2} = \frac{22 + 4}{2} = \frac{26}{2} = 13
11. x_2 = \frac{22 - \sqrt{16}}{2} = \frac{22 - 4}{2} = \frac{18}{2} = 9
12. Проверим корни на допустимые значения:
13. x
    eq 4
14. Корень x_1 = 13 и x_2 = 9 удовлетворяет условию.

Ответ: x = 13, x = 9

e) \frac{5}{x-1} - \frac{4}{3-6x+3x^2} = 3

1. \frac{5}{x-1} - \frac{4}{3(x^2-2x+1)} = 3
2. \frac{5}{x-1} - \frac{4}{3(x-1)^2} = 3
3. Приведем к общему знаменателю:
4. \frac{15(x-1) - 4}{3(x-1)^2} = 3
5. \frac{15x - 15 - 4}{3(x-1)^2} = 3
6. \frac{15x - 19}{3(x-1)^2} = 3
7. 15x - 19 = 9(x-1)^2
8. 15x - 19 = 9(x^2-2x+1)
9. 15x - 19 = 9x^2-18x+9
10. 9x^2-18x+9 - 15x + 19 = 0
11. 9x^2-33x+28 = 0
12. D = (-33)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (28) = 1089 - 1008 = 81
13. x_1 = \frac{33 + \sqrt{81}}{18} = \frac{33 + 9}{18} = \frac{42}{18} = \frac{7}{3}
14. x_2 = \frac{33 - \sqrt{81}}{18} = \frac{33 - 9}{18} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}
15. Проверим корни на допустимые значения:
16. x
    eq 1
17. Корень x_1 = \frac{7}{3} и x_2 = \frac{4}{3} удовлетворяет условию.

Ответ: x = \frac{7}{3}, x = \frac{4}{3}