637. Найдите значение переменной y, при котором: а) сумма дробей $$\frac{3y+9}{3y-1}$$ и $$\frac{2y-13}{2y+5}$$ равна 2; б) разность дробей $$\frac{5y+13}{3y+4}$$ и $$\frac{4-6y}{3y-1}$$ равна 3; в) сумма дробей $$\frac{y+1}{y-5}$$ и $$\frac{10}{y+5}$$ равна их произведению; г) разность дробей $$\frac{6}{y-4}$$ и $$\\\frac{y}{y+2}$$ равна их произведению.

Найдём значения переменной y.

1. а) сумма дробей $$\frac{3y+9}{3y-1}$$ и $$\frac{2y-13}{2y+5}$$ равна 2

   $$\frac{3y+9}{3y-1} + \frac{2y-13}{2y+5} = 2$$

   ОДЗ: $$y
   e \frac{1}{3}; y
   e -\frac{5}{2}$$.

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{(3y+9)(2y+5)}{(3y-1)(2y+5)} + \frac{(2y-13)(3y-1)}{(2y+5)(3y-1)} = \frac{2(3y-1)(2y+5)}{(2y+5)(3y-1)}$$ $$(3y+9)(2y+5) + (2y-13)(3y-1) = 2(3y-1)(2y+5)$$ $$6y^2 + 15y + 18y + 45 + 6y^2 - 2y - 39y + 13 = 2(6y^2 + 15y - 2y - 5)$$ $$12y^2 - 8y + 58 = 2(6y^2 + 13y - 5)$$ $$12y^2 - 8y + 58 = 12y^2 + 26y - 10$$ $$-8y + 58 = 26y - 10$$ $$-34y = -68$$ $$y = 2$$.

   Корень входит в ОДЗ.

   Ответ: 2.

2. б) разность дробей $$\frac{5y+13}{3y+4}$$ и $$\frac{4-6y}{3y-1}$$ равна 3

   $$\frac{5y+13}{3y+4} - \frac{4-6y}{3y-1} = 3$$

   ОДЗ: $$y
   e -\frac{4}{3}; y
   e \frac{1}{3}$$.

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{(5y+13)(3y-1)}{(3y+4)(3y-1)} - \frac{(4-6y)(3y+4)}{(3y-1)(3y+4)} = \frac{3(3y+4)(3y-1)}{(3y-1)(3y+4)}$$ $$(5y+13)(3y-1) - (4-6y)(3y+4) = 3(3y+4)(3y-1)$$ $$15y^2 - 5y + 39y - 13 - (12y + 16 - 18y^2 - 24y) = 3(9y^2 - 3y + 12y - 4)$$ $$15y^2 + 34y - 13 - 12y - 16 + 18y^2 + 24y = 27y^2 + 27y - 12$$ $$33y^2 + 46y - 29 = 27y^2 + 27y - 12$$ $$6y^2 + 19y - 17 = 0$$ $$D = 19^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-17) = 361 + 408 = 769$$ $$y_1 = \frac{-19 + \sqrt{769}}{12}; y_2 = \frac{-19 - \sqrt{769}}{12}$$.

   Оба корня входят в ОДЗ.

   Ответ: $$\frac{-19 + \sqrt{769}}{12}; \frac{-19 - \sqrt{769}}{12}$$.

3. в) сумма дробей $$\frac{y+1}{y-5}$$ и $$\frac{10}{y+5}$$ равна их произведению

   $$\frac{y+1}{y-5} + \frac{10}{y+5} = \frac{y+1}{y-5} \cdot \frac{10}{y+5}$$.

   ОДЗ: $$y
   e -5; y
   e 5$$.

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{(y+1)(y+5)}{(y-5)(y+5)} + \frac{10(y-5)}{(y+5)(y-5)} = \frac{10(y+1)}{(y-5)(y+5)}$$ $$(y+1)(y+5) + 10(y-5) = 10(y+1)$$ $$y^2 + 5y + y + 5 + 10y - 50 = 10y + 10$$ $$y^2 + 6y - 45 = 0$$ $$y_1 + y_2 = -6; y_1 \cdot y_2 = -45$$ $$y_1 = 3; y_2 = -15$$.

   Оба корня входят в ОДЗ.

   Ответ: 3; -15.

4. г) разность дробей $$\frac{6}{y-4}$$ и $$\frac{y}{y+2}$$ равна их произведению

   $$\frac{6}{y-4} - \frac{y}{y+2} = \frac{6}{y-4} \cdot \frac{y}{y+2}$$.

   ОДЗ: $$y
   e -2; y
   e 4$$.

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{6(y+2)}{(y-4)(y+2)} - \frac{y(y-4)}{(y+2)(y-4)} = \frac{6y}{(y-4)(y+2)}$$ $$6(y+2) - y(y-4) = 6y$$ $$6y + 12 - y^2 + 4y = 6y$$ $$-y^2 + 4y + 12 = 0$$ $$y^2 - 4y - 12 = 0$$ $$y_1 + y_2 = 4; y_1 \cdot y_2 = -12$$ $$y_1 = 6; y_2 = -2$$.

   Корень -2 не входит в ОДЗ.

   Ответ: 6.