538. Решите уравнение: a) 8x² - 14x + 5 = 0; б) 12t² + 16t - 3 = 0; в) 4p² + 4p + 1 = 0; г) x² - 8x - 84 = 0;

a) 8x² - 14x + 5 = 0;

Для решения квадратного уравнения вида $$ax^2 + bx + c = 0$$ можно использовать формулу дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$. Если D > 0, то уравнение имеет два корня, если D = 0, то уравнение имеет один корень, и если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

В данном случае, a = 8, b = -14, c = 5.

$$D = (-14)^2 - 4 \times 8 \times 5 = 196 - 160 = 36$$

Так как D > 0, уравнение имеет два корня, которые можно найти по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

$$x_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{36}}{2 \times 8} = \frac{14 + 6}{16} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$$ $$x_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{36}}{2 \times 8} = \frac{14 - 6}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$$

Ответ: $$x_1 = \frac{5}{4}, x_2 = \frac{1}{2}$$

б) 12t² + 16t - 3 = 0;

Для решения квадратного уравнения вида $$ax^2 + bx + c = 0$$ можно использовать формулу дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$. Если D > 0, то уравнение имеет два корня, если D = 0, то уравнение имеет один корень, и если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

В данном случае, a = 12, b = 16, c = -3.

$$D = (16)^2 - 4 \times 12 \times (-3) = 256 + 144 = 400$$

Так как D > 0, уравнение имеет два корня, которые можно найти по формуле:

$$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

$$t_1 = \frac{-16 + \sqrt{400}}{2 \times 12} = \frac{-16 + 20}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$$ $$t_2 = \frac{-16 - \sqrt{400}}{2 \times 12} = \frac{-16 - 20}{24} = \frac{-36}{24} = -\frac{3}{2}$$

Ответ: $$t_1 = \frac{1}{6}, t_2 = -\frac{3}{2}$$

в) 4p² + 4p + 1 = 0;

Для решения квадратного уравнения вида $$ax^2 + bx + c = 0$$ можно использовать формулу дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$. Если D > 0, то уравнение имеет два корня, если D = 0, то уравнение имеет один корень, и если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

В данном случае, a = 4, b = 4, c = 1.

$$D = (4)^2 - 4 \times 4 \times 1 = 16 - 16 = 0$$

Так как D = 0, уравнение имеет один корень, который можно найти по формуле:

$$p = \frac{-b}{2a}$$

$$p = \frac{-4}{2 \times 4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$$

Ответ: $$p = -\frac{1}{2}$$

г) x² - 8x - 84 = 0;

Для решения квадратного уравнения вида $$ax^2 + bx + c = 0$$ можно использовать формулу дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$. Если D > 0, то уравнение имеет два корня, если D = 0, то уравнение имеет один корень, и если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

В данном случае, a = 1, b = -8, c = -84.

$$D = (-8)^2 - 4 \times 1 \times (-84) = 64 + 336 = 400$$

Так как D > 0, уравнение имеет два корня, которые можно найти по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

$$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{400}}{2 \times 1} = \frac{8 + 20}{2} = \frac{28}{2} = 14$$ $$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{400}}{2 \times 1} = \frac{8 - 20}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$

Ответ: $$x_1 = 14, x_2 = -6$$