Решение уравнений №219

a) x³ + 7x² - 6 = 0

Подбором находим корень x = -1:

(-1)³ + 7(-1)² - 6 = -1 + 7 - 6 = 0

Разделим многочлен x³ + 7x² - 6 на (x + 1) столбиком:

        x² + 6x - 6
x + 1 | x³ + 7x² + 0x - 6
       -x³ +  x²
       ------------
            6x² + 0x
           -6x² + 6x
           ----------
                -6x - 6
                --6x - 6
                --------
                      0

Получаем: (x + 1)(x² + 6x - 6) = 0

Первый корень: x₁ = -1

Второй случай: x² + 6x - 6 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = 6^2 - 4 cdot 1 cdot (-6) = 36 + 24 = 60$$

$$x_{2,3} = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2 cdot 1} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{2} = -3 \pm \sqrt{15}$$

$$x_2 = -3 + \sqrt{15}$$

$$x_3 = -3 - \sqrt{15}$$

Ответ: x₁ = -1; x₂ = -3 + √15; x₃ = -3 - √15

б) x³ + 4x² - 5 = 0

Подбором находим корень x = 1:

1³ + 4(1)² - 5 = 1 + 4 - 5 = 0

Разделим многочлен x³ + 4x² - 5 на (x - 1) столбиком:

        x² + 5x + 5
x - 1 | x³ + 4x² + 0x - 5
       -x³ -  x²
       ------------
            5x² + 0x
           -5x² - 5x
           ----------
                5x - 5
                -5x - 5
                --------
                      0

Получаем: (x - 1)(x² + 5x + 5) = 0

Первый корень: x₁ = 1

Второй случай: x² + 5x + 5 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = 5^2 - 4 cdot 1 cdot 5 = 25 - 20 = 5$$

$$x_{2,3} = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{2 cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{2}$$

$$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}$$

$$x_3 = \frac{-5 - \sqrt{5}}{2}$$

Ответ: x₁ = 1; x₂ = (-5 + √5)/2; x₃ = (-5 - √5)/2