Решение уравнений №217

a) y³ - 6y = 0

Вынесем y за скобки: y(y² - 6) = 0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Первый корень: y₁ = 0

Второй случай: y² - 6 = 0

y² = 6

y₂ = √6

y₃ = -√6

Ответ: y₁ = 0; y₂ = √6; y₃ = -√6

б) 6x⁴ + 3,6x² = 0

Вынесем 6x² за скобки: 6x²(x² + 0,6) = 0

Первый случай: 6x² = 0

x₁ = 0

Второй случай: x² + 0,6 = 0

x² = -0,6

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, то это уравнение не имеет решений.

Ответ: x = 0

в) x³ + 3x = 3,5x²

Перенесём всё в левую часть: x³ - 3,5x² + 3x = 0

Вынесем x за скобки: x(x² - 3,5x + 3) = 0

Первый корень: x₁ = 0

Второй случай: x² - 3,5x + 3 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-3.5)^2 - 4 cdot 1 cdot 3 = 12.25 - 12 = 0.25$$

$$x_{2,3} = \frac{-(-3.5) \pm \sqrt{0.25}}{2 cdot 1} = \frac{3.5 \pm 0.5}{2}$$

$$x_2 = \frac{3.5 + 0.5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$x_3 = \frac{3.5 - 0.5}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$$

Ответ: x₁ = 0; x₂ = 2; x₃ = 1.5

г) x³ - 0,1x = 0,3x²

Перенесём всё в левую часть: x³ - 0,3x² - 0,1x = 0

Вынесем x за скобки: x(x² - 0,3x - 0,1) = 0

Первый корень: x₁ = 0

Второй случай: x² - 0,3x - 0,1 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-0.3)^2 - 4 cdot 1 cdot (-0.1) = 0.09 + 0.4 = 0.49$$

$$x_{2,3} = \frac{-(-0.3) \pm \sqrt{0.49}}{2 cdot 1} = \frac{0.3 \pm 0.7}{2}$$

$$x_2 = \frac{0.3 + 0.7}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$$

$$x_3 = \frac{0.3 - 0.7}{2} = \frac{-0.4}{2} = -0.2$$

Ответ: x₁ = 0; x₂ = 0.5; x₃ = -0.2

д) 9x³ - 18x² - x + 2 = 0

Сгруппируем: (9x³ - 18x²) + (-x + 2) = 0

Вынесем общие множители: 9x²(x - 2) - 1(x - 2) = 0

Вынесем (x - 2) за скобки: (x - 2)(9x² - 1) = 0

Первый случай: x - 2 = 0

x₁ = 2

Второй случай: 9x² - 1 = 0

9x² = 1

x² = 1/9

x₂ = 1/3

x₃ = -1/3

Ответ: x₁ = 2; x₂ = 1/3; x₃ = -1/3

e) y⁴ - y³ - 16y² + 16y = 0

Вынесем y за скобки: y(y³ - y² - 16y + 16) = 0

Первый корень: y₁ = 0

Второй случай: y³ - y² - 16y + 16 = 0

Сгруппируем: (y³ - y²) + (-16y + 16) = 0

Вынесем общие множители: y²(y - 1) - 16(y - 1) = 0

Вынесем (y - 1) за скобки: (y - 1)(y² - 16) = 0

y₂ = 1

y² - 16 = 0

y² = 16

y₃ = 4

y₄ = -4

Ответ: y₁ = 0; y₂ = 1; y₃ = 4; y₄ = -4

ж) p³ - p² = p - 1

Перенесём всё в левую часть: p³ - p² - p + 1 = 0

Сгруппируем: (p³ - p²) + (-p + 1) = 0

Вынесем общие множители: p²(p - 1) - 1(p - 1) = 0

Вынесем (p - 1) за скобки: (p - 1)(p² - 1) = 0

p₁ = 1

p² - 1 = 0

p² = 1

p₂ = 1

p₃ = -1

Ответ: p₁ = 1; p₂ = -1

з) x⁴ - x² = 3x³ - 3x

Перенесём всё в левую часть: x⁴ - 3x³ - x² + 3x = 0

Сгруппируем: (x⁴ - 3x³) + (-x² + 3x) = 0

Вынесем общие множители: x³(x - 3) - x(x - 3) = 0

Вынесем (x - 3) за скобки: (x - 3)(x³ - x) = 0

x₁ = 3

x³ - x = 0

Вынесем x за скобки: x(x² - 1) = 0

x₂ = 0

x² - 1 = 0

x² = 1

x₃ = 1

x₄ = -1

Ответ: x₁ = 3; x₂ = 0; x₃ = 1; x₄ = -1