5. Решите уравнение log\frac{1}{4}(x²-3x)=-1.

Ответ: 1;-4

Разбираемся:

• Шаг 1: Преобразуем уравнение, используя определение логарифма:

\[\log_{\frac{1}{4}} (x^2 - 3x) = -1\] \[x^2 - 3x = (\frac{1}{4})^{-1}\] \[x^2 - 3x = 4\]

• Шаг 2: Приводим к квадратному уравнению:

\[x^2 - 3x - 4 = 0\]

• Шаг 3: Решаем квадратное уравнение через теорему Виета:

\[x_1 + x_2 = 3\] \[x_1 \cdot x_2 = -4\]

Корни уравнения:

\[x_1 = 4, \quad x_2 = -1\]

Шаг 4: Проверяем корни, подставляя их в исходное уравнение:

Проверка корня \(x = 4\):

\[\log_{\frac{1}{4}} (4^2 - 3 \cdot 4) = \log_{\frac{1}{4}} (16 - 12) = \log_{\frac{1}{4}} 4 = -1\]

Корень \(x = 4\) подходит.

Проверка корня \(x = -1\):

\[\log_{\frac{1}{4}} ((-1)^2 - 3 \cdot (-1)) = \log_{\frac{1}{4}} (1 + 3) = \log_{\frac{1}{4}} 4 = -1\]

Корень \(x = -1\) подходит.

Ответ: -1;4