Решите уравнение: 1/(x² - x + 2) + 2/(x² - x - 14) + 1/8 = 0. Введите только необходимое количество различных корней, последние поля ввода оставьте пустыми, если потребуется.

Решим уравнение: $$\frac{1}{x^2-x+2} + \frac{2}{x^2-x-14} + \frac{1}{8} = 0$$

Пусть $$t = x^2 - x$$, тогда уравнение примет вид:

$$\frac{1}{t+2} + \frac{2}{t-14} + \frac{1}{8} = 0$$

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $$8(t+2)(t-14)$$. Домножим первую дробь на $$8(t-14)$$, вторую на $$8(t+2)$$, третью на $$(t+2)(t-14)$$. Получим:

$$\frac{8(t-14)}{8(t+2)(t-14)} + \frac{2 \cdot 8(t+2)}{8(t+2)(t-14)} + \frac{(t+2)(t-14)}{8(t+2)(t-14)} = 0$$

$$t
e -2; t
e 14$$

Уберем знаменатель:

$$8(t-14) + 16(t+2) + (t+2)(t-14) = 0$$ $$8t - 112 + 16t + 32 + t^2 - 14t + 2t - 28 = 0$$ $$t^2 + 12t - 108 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 144 + 432 = 576$$ $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-12+24}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-12-24}{2} = \frac{-36}{2} = -18$$

Оба корня удовлетворяют условиям $$t
e -2$$ и $$t
e 14$$. Значит, корни уравнения: $$t_1=6$$ и $$t_2=-18$$.

Вернемся к замене: $$t = x^2 - x$$

1) $$x^2 - x = 6$$ $$x^2 - x - 6 = 0$$ $$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1+5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1-5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

2) $$x^2 - x = -18$$ $$x^2 - x + 18 = 0$$ $$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (18) = 1 - 72 = -71$$ $$D < 0$$ - нет решений.

Корни уравнения: $$x_1=3$$ и $$x_2=-2$$.

Ответ: 3; -2