Решите уравнение: 1/(x+4) - 8/(x² - 16) = (x-5)/(x-4) Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Решим уравнение: $$\frac{1}{x+4} - \frac{8}{x^2-16} = \frac{x-5}{x-4}$$

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $$(x+4)(x-4)$$. Домножим первую дробь на $$(x-4)$$, вторую на $$1$$, третью на $$(x+4)$$. Получим:

$$\frac{1(x-4)}{(x+4)(x-4)} - \frac{8}{(x+4)(x-4)} = \frac{(x-5)(x+4)}{(x-4)(x+4)}$$

$$x
e -4; x
e 4$$

Уберем знаменатель:

$$x-4 - 8 = (x-5)(x+4)$$ $$x - 12 = x^2 + 4x - 5x - 20$$ $$x - 12 = x^2 - x - 20$$ $$x^2 - x - 20 - x + 12 = 0$$ $$x^2 - 2x - 8 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2+6}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2-6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Т.к. $$x
e 4$$, то корень $$x_1=4$$ не является решением уравнения.

Единственный корень уравнения: $$x = -2$$.

Ответ: -2