Решите уравнения: 1. \(2\cos x+\sqrt3=0\). 2. \(\sin\left(2x-\frac\pi3\right)+1=0\). 3. \(\cos^2x+3\sin x-3=0\). 4. \(3\sin^2x=2\sin x\cos x+\cos^2x\).

Переносим и делим на 2: \(\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}\). Косинус принимает это значение при углах \(\frac{5\pi}{6}\) и \(\frac{7\pi}{6}\) на одном периоде.

Ответ: \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

Синус равен \(-1\), когда его аргумент равен \(-\frac\pi2+2\pi k\):

\(2x-\frac\pi3=-\frac\pi2+2\pi k\), поэтому \(2x=-\frac\pi6+2\pi k\).

Ответ: \(x=-\frac\pi{12}+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

Используем тождество \(\cos^2x=1-\sin^2x\):

\(1-\sin^2x+3\sin x-3=0\), откуда \(\sin^2x-3\sin x+2=0\).

Разложение на множители: \((\sin x-1)(\sin x-2)=0\). Значение \(\sin x=2\) невозможно, поэтому \(\sin x=1\).

Ответ: \(x=\frac\pi2+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

Поскольку \(\cos x=0\) не удовлетворяет исходному уравнению, делим его на \(\cos^2x\):

\(3\tan^2x=2\tan x+1\), то есть \((3\tan x+1)(\tan x-1)=0\).

Следовательно, \(\tan x=1\) или \(\tan x=-\frac13\).

Ответ: \(x=\frac\pi4+\pi k\) или \(x=-\arctan\frac13+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).