Решите уравнения: а) 0,125 · 2^(4x−16) = (0,25/√2)^(−x); б) (2^(2x−1) · 4^(x+1))/8^(x−1) = (1/64)^(−1); в) 5^((6x+3)/x) = ⁴√(125^(2x+1)); г) 25 · 0,2^(x+0,5) = √5 · 0,04^x.

а) Представим числа как степени двойки: \(0{,}125=2^{-3}\), \(0{,}25/\sqrt2=2^{-5/2}\). Получаем \(2^{4x-19}=2^{5x/2}\). Приравниваем показатели: \(4x-19=5x/2\), откуда \(x=38/3\).

б) Приведём выражение к основанию 2: \(\frac{2^{2x-1}\cdot2^{2x+2}}{2^{3x-3}}=2^{x+4}\), а \((1/64)^{-1}=2^6\). Значит, \(x+4=6\), поэтому \(x=2\).

в) Область допустимых значений: \(x\ne0\). Правая часть равна \(5^{(6x+3)/4}\), поэтому \(\frac{6x+3}{x}=\frac{6x+3}{4}\). Отсюда \((6x+3)(4-x)=0\), следовательно, \(x=-1/2\) или \(x=4\). Оба значения допустимы.

г) Перепишем уравнение с основанием 5: \(5^{2-x-0{,}5}=5^{0{,}5-2x}\), то есть \(5^{1{,}5-x}=5^{0{,}5-2x}\). Приравнивая показатели, получаем \(1{,}5-x=0{,}5-2x\), поэтому \(x=-1\).

Ответ: а) 38/3; б) 2; в) −1/2 и 4; г) −1.